Нижегородские ученые успешно решают многокритериальные задачи управления динамическими объектами в условиях неопределенности внешних воздействий

banner 982162 960 720

На сегодняшний день слова «неопределенность» и «многокритериальность» как нельзя лучше характеризуют актуальность и уровень сложности современных проблем управления разнообразными динамическими объектами и процессами. В самом деле, любая математическая модель, описывающая сложные управляемые процессы, неизбежно включает неточности в описании действующих возмущений и параметров объекта управления. Игнорирование такой «неопределенности» часто приводит к фатальным ошибкам в функционировании реальных систем управления.
С другой стороны, различные требования, предъявляемые к системе управления, как правило, противоречивы, что естественным образом ведет к постановке многокритериальных задач, позволяющих в случае успешного их решения исключить, по крайней мере, заведомо «неэффективные» решения. Хорошо известно, что многокритериальные задачи управления являются весьма трудными для решения. Эти трудности многократно усиливаются в связи с неопределенностью в задании параметров системы и действующих возмущений, поэтому любое продвижение в развитии теории и методов решения указанных задач представляется весьма ценным и актуальным как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.
По словам главного научного сотрудника лаборатории информационных систем и технической диагностики, профессора кафедры дифференциальных уравнений, математического и численного анализа Института информационных технологий, математики и механики ННГУ Дмитрия Баландина, основной результат работы состоит в развитии на основе современных достижений теории управления, теории линейных матричных неравенств и теории выпуклой оптимизации новых методов синтеза законов управления динамическими объектами в форме обратной связи.

«Объектом нашего исследования является система обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений, описывающая динамику исследуемого объекта. Предполагается, что динамический объект подвержен внешним воздействиям из различных классов. Таковыми, в частности, могут быть воздействия, представляемые произвольными интегрируемыми с квадратом вектор-функциями времени, воздействия, имеющие случайный характер и описываемые как гауссовский белый шум с неизвестной ковариационной матрицей, импульсные воздействия с неизвестной интенсивностью удара, гармонические воздействия с неизвестной частотой и амплитудой», – отмечает Дмитрий Баландин.

Цель управления состоит в синтезе обратной связи (либо по измеряемому состоянию, либо по измеряемому выходу), обеспечивающей гашение возмущений возникающих в системе и порождаемых указанными воздействиями. Показатели качества переходных процессов, называемые в дальнейшем уровни гашения возмущений, определяются для каждого класса внешних воздействий и представляют собой максимум (по всем воздействиям из данного класса) отношения нормы управляемого выхода системы к норме внешнего воздействия. Естественное стремление к улучшению переходных процессов приводит к задачам оптимального управления, состоящих в минимизации уровней гашения возмущений.
Простые примеры показывают, что закон управления, минимизирующий уровень гашения для одного класса, вовсе не является наилучшим для другого класса. Так, например, управление, обеспечивающее наилучшее гашение возмущений, порождаемых периодическими воздействиями, значительно отличается от законов управления, обеспечивающих гашение возмущений, порождаемых ударными воздействиями. Таким образом, возникает задача поиска компромисса при синтезе законов управления объектом, подверженным воздействиям из различных классов, которую можно представить как многокритериальную задачу управления.
В теории оптимизации многокритериальные задачи даже в конечномерной постановке традиционно являются весьма трудными для решения. Тем более это справедливо для многокритериальных задач оптимального управления, а постановка многокритериальных задач управления с учетом неопределенных факторов еще более усложняет проблему.
Несмотря на то, что за последние десятилетия достигнут ощутимый прогресс в решении задач оптимального управления с критериями, имеющими ясные физические интерпретации в виде уровней гашения детерминированных или стохастических возмущений из различных классов, рассмотрение многокритериальных задач с этими критериями вызывает до сих пор значительные трудности. Эти трудности, в первую очередь, связаны со сложностью характеризации множества Парето и нахождения соответствующей скалярной многоцелевой функции, которая бы определяла это множество.
Кроме того, задача осложняется тем, что каждый из критериев характеризуется своей квадратичной функцией Ляпунова, а скалярная оптимизация многоцелевой функции в виде стандартной линейной свертки приводит в общем случае к трудно решаемой билинейной системе неравенств относительно матриц этих функций Ляпунова и матрицы обратной связи регулятора. Для построения приближенного решения такой системы, как правило, вводится дополнительное условие о равенстве между собой всех функций Ляпунова, что вносит определенный консерватизм в рассматриваемую задачу. Следует заметить, что до сих пор без ответа оставался главный вопрос, в какой мере получаемые законы управления отличаются от оптимальных по Парето.
В своих последних публикациях учёные Университета Лобачевского в соавторстве с представителями Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета отвечают на этот вопрос и приводят числовые оценки отклонения субоптимальных решений многокритериальных задач от оптимальных по Парето, а также приводят новые точные Парето оптимальные решения для некоторых типов критериев.
В качестве важного приложения в работе рассматривается задача управления движением ротора в активных магнитных подшипниках (АМП). Идея управления магнитным полем для вывешивания ферромагнитных тел давно и широко применяется в современных технических устройствах, особенно в роторных системах. Теоретические и прикладные работы в этой области проводятся в России и за рубежом уже несколько десятилетий.
В Нижнем Новгороде теоретические и прикладные работы в области роторных систем с активными магнитными подшипниками многие годы проводились в НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского, а также в ОКБМ им. И.И. Африкантова.
Несмотря на огромное число публикаций, посвященных АМП, вопросы усовершенствования системы автоматического регулирования АМП продолжают оставаться в фокусе внимания исследователей и инженеров. Технические требования к таким системам чрезвычайно высоки, основными их которых являются высокая частота вращения ротора и бесперебойная работа (без непосредственного участия человека-оператора) системы «ротор в активных магнитных подшипниках» в течение довольно длительного времени.
Для обеспечения этих требований необходимо значительно повысить надежность системы, что возможно лишь за счет значительно упрощения алгоритмов управления в АМП. Математически указанная задача сформулирована как многокритериальная задача оптимального управления, критерии в которой отражают различные, в том числе и противоречивые требования к надежному функционированию управляемого объекта.

«В результате применения изложенной выше теории удалось синтезировать новые законы управления движением ротора в активных магнитных подшипниках, обеспечивающие надежную работу системы при неточно известных параметрах ротора и действующих на него возмущениях», – подводит итог профессор Баландин.